NCERT Class 10 Math solution Exercise 2.2 | कक्षा 10 गणित हल प्रश्नावली 2.2

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Class 10 Math solved Exercise 2.2 | कक्षा 10 गणित हल प्रश्नावली 2.2

Class 10 Math Exercise 2.2 new syllabus बहुपद के इस अध्याय में कुल 02 प्रश्न है, प्रत्येक प्रश्न में 6-6 सवाल दिए गए हैं जिनका हल नीचे दिया गया है इस अध्याय Class 10 Math Exercise 2.2 new syllabus में नई शिक्षा नीति के अनुसार नए प्रश्नों के हलों का समावेश है |

प्रश्न 01 -

निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यांक ज्ञात कीजिये और शून्यांकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जांच कीजिये |

(i) x2−2x−8 (ii) $4 s^{2} - 4 s + 1$ (iii) $6 x^{2} - 3 - 7 x$

(iv) $4 u^{2} + 8 u$ (v) $t^{2} - 15$ (vi) $3 x^{2} - x - 4$

हल -

(i) $x^{2} - 2 x - 8$

हम पाते हैं :

$x^{2} - 2 x - 8$

$x^{2} - 4 x + 2 x - 8$

$x(x-4) + 2(x-4)$

$(x+2)(x-4)$

$इसलिए , x^{2} - 2 x - 8 का मान शून्य है,जब x + 2 = 0 है या$ $x - 4 = 0 है, अर्थात जब x = - 2 या x = 4 हो |$

इसलिए x^{2} - 2 x - 8 के शून्यंक - 2 और 4 हैं |

$शून्यांकों का योग =- 2 + 4 = 2 = \frac{- (- 2)}{1} = \frac{- (x का गुणांक )}{x^{2 का गुणांक}}$

$शून्यांकों का गुणनफल =(- 2) \times 4 = - 8 = \frac{- 8}{1} = \frac{अ च र प द}{x^{2 क ा ग ु ण ा ं क}}$

हल  ii  -

$4 s^{2} - 4 s + 1$
हम पाते हैं:
$4 s^{2} - 4 s + 1$

$4 s^{2} - 2 s - 2 s + 1$
$2 s (2 s - 1) - 1 (2 s - 1)$
$(2 s - 1) (2 s - 1)$
इसलिए $4 s^{2} - 4 s + 1$ का मान शून्य है, जब 2s-1 =0,
अर्थात जब $s = \frac{1}{2}$ हो |

इसलिए

4 s^{2} - 4 s + 1

के शून्यंक

\frac{1}{2}

और

\frac{1}{2}

हैं ,अब

शून्यांकों का योग =

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = \frac{- (4)}{4} = \frac{- (sका गुणांक)}{s^{2का गुणांक}}

शून्यांकों का गुणनफल =

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{अ च र प द}{s^{2का गुणांक}}

हल iii -

$6 x^{2} - 3 - 7 x$
हम पाते हैं:
$6 x^{2} - 7 x - 3$

$6 x^{2} - 9 x + 2 x - 3$
$3 x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3)$
$(3 x + 1) (2 x - 3)$
इसलिए $6 x^{2} - 3 - 7 x$ का मान शून्य है, जब 3x+1 =0, या 2x-3=0 है,
अर्थात जब $- \frac{1}{3}$ या $\frac{3}{2}$ हो |

इसलिए $6 x^{2} - 3 - 7 x$ के शून्यंक $- \frac{1}{3}$ और $\frac{3}{2}$ हैं ,अब

शून्यांकों का योग = $- \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{- 2 + 9}{6} = \frac{7}{6} = \frac{- (- 7)}{6} = \frac{- (x का गुणांक)}{(x^{2का गुणांक})}$
शून्यांकों का गुणनफल = $(- \frac{1}{3}) \times \frac{3}{2} = - \frac{3}{6} = \frac{अ च र प द}{(x^{2का गुणांक})}$

हल iv -

$4 u^{2} + 8 u$
हम पाते हैं:
$4 u^{2} + 8 u$

$4 u^{2} + 8 u$
4u(u+2)

इसलिए $4 u^{2} + 8 u$ का मान शून्य है, जब 4u =0, या u+2=0 है,
अर्थात जब u=0 या u=-2 हो |

इसलिए $4 u^{2} + 8 u$ के शून्यंक 0 और -2 हैं ,अब

शून्यांकों का योग = $0 + (- 2) = - 2 = \frac{- (8)}{4} = \frac{- (u का गुणांक)}{(u^{2 का गुणांक})}$
शून्यांकों का गुणनफल = $0 \times (- 2) = 0 = \frac{0}{4} = \frac{अ च र प द}{(u^{2 का गुणांक})}$

हल v -

$t^{2} - 15$
हम पाते हैं:
$t^{2} - 15$

$t^{2} - \sqrt{15}$
$(t + \sqrt{15}) (t - \sqrt{15})$

इसलिए $t^{2} - 15$ का मान शून्य है, जब $t + \sqrt{15} = 0$ , या $t - \sqrt{15} = 0$ है,
अर्थात जब $t = - \sqrt{15}$ या $t = \sqrt{15}$ हो |

इसलिए $t^{2} - 15$ के शून्यंक $\sqrt{15}$ और $- \sqrt{15}$ हैं ,अब

शून्यांकों का योग = $- \sqrt{15} + \sqrt{15} = 0 = \frac{- (0)}{1} = \frac{- (t का गुणांक)}{(t^{2} का गुणांक)}$
शून्यांकों का गुणनफल = $- \sqrt{15} \times \sqrt{15} = - 15 = \frac{- 15}{1} = \frac{अ च र प द}{(t^{2} का गुणांक )}$

हल vi -

$3 x^{2} - x - 4$
हम पाते हैं:
$3 x^{2} - x - 4$

$3 x^{2} - 4 x + 3 x - 4$
$x (3 x - 4) + 1 (3 x - 4)$
$(3 x - 4) (x + 1)$
इसलिए $3 x^{2} - x - 4$ का मान शून्य है, जब $3 x - 4 = 0$ , या $x + 1 = 0$ है,
अर्थात जब $x = \frac{4}{3}$ या $x = - 1$ हो |

इसलिए $3 x^{2} - x - 4$ के शून्यंक $\frac{4}{3}$ और $- 1$ हैं ,अब

शून्यांकों का योग = $\frac{4}{3} + (- 1) = \frac{4 - 3}{3} = \frac{- (- 1)}{3} = \frac{- (x का गुणांक)}{(x^{2} का गुणांक)}$

शून्यांकों का गुणनफल = $\frac{4}{3} \times (- 1) = \frac{- 4}{3} = \frac{अ च र प द}{(x^{2} का गुणांक)}$
$प्रश्न 02 -$ $एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये, जिसके शून्यांकों का योग एवं गुणनफल क्रमशः दी गई संख्यायें हैं |$

(i) $\frac{1}{4}, - 1$ (ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$ (iii) $0, \sqrt{5}$

(iv) $1, 1$ (v) $\frac{- 1}{4}, \frac{1}{4}$ (vi) $4, 1$

\sqrt{}

हल-

(i)- $\frac{1}{4}, - 1$

दिया है - शून्यांकों का योग = $\frac{1}{4}$

शून्यांकों का गुणनफल =

- 1

सूत्र -

x^{2} - (शून्यांकों का योग) x + (शून्यांकों का गुणनफल) = 0

x^{2} - (\frac{1}{4}) x + (- 1)

4x2-x -4

(ii)

\sqrt{2}, \frac{1}{3}

दिया है - शून्यांकों का योग = $\sqrt{2}$

शून्यांकों का गुणनफल =

\frac{1}{3}

सूत्र -

x^{2} - (शून्यांकों का योग) x + (शून्यांकों का गुणनफल) = 0

x^{2} - (\sqrt{2}) x + (\frac{1}{3})

उक्त समी0 में 3 से गुणा करने पर,

$3 x^{2} - 3 \sqrt{2} x + 1$

(iii)

0, \sqrt{5}

दिया है - शून्यांकों का योग = 0

शून्यांकों का गुणनफल =

\sqrt{5}

सूत्र -

x^{2} - (शून्यांकों का योग) x + (शून्यांकों का गुणनफल) = 0

x^{2} - (0) x + (\sqrt{5})

उक्त समी0 में 1 से गुणा करने पर,

$x^{2} + \sqrt{5}$

(iv) 1,1

दिया है - शून्यांकों का योग = 1

शून्यांकों का गुणनफल =1

सूत्र -

x^{2} - (शून्यांकों का योग) x + (शून्यांकों का गुणनफल) = 0

x^{2} - (1) x + (1)

उक्त समी0 में 1 से गुणा करने पर,

$x^{2} - x + 1$

(v)

\frac{- 1}{4}, \frac{1}{4}

दिया है - शून्यांकों का योग = $\frac{- 1}{4}$

शून्यांकों का गुणनफल =

\frac{1}{4}

सूत्र -

x^{2} - (शून्यांकों का योग) x + (शून्यांकों का गुणनफल) = 0

x^{2} - (- \frac{1}{4}) x + (\frac{1}{4})

उक्त समी0 में 4 से गुणा करने पर,

$4 x^{2} + x + 1$

(vi)

4,1

दिया है - शून्यांकों का योग = 4

शून्यांकों का गुणनफल = 1

सूत्र -

x^{2} - (शून्यांकों का योग) x + (शून्यांकों का गुणनफल) = 0

x^{2} - (4) x + (1)

उक्त समी0 में 1 से गुणा करने पर,

$x^{2} - 4 x + 1$

NCERT Class 10 Math solution Exercise 2.2 | कक्षा 10 गणित हल प्रश्नावली 2.2

प्रश्न 01 -

(i) x2−2x−8 (ii) 4s2−4s+1 (iii) 6x2−3−7x

(iv) 4u2+8u (v) t2−15 (vi) 3x2−x−4

हल -

(i) x2−2x−8

x2−2x−8

x2−4x+2x−8

x(x-4) + 2(x-4)

(x+2)(x-4)

इसलिए , x2−2x−8 का मान शून्य है,जब x+2 =0 है या x-4 = 0 है ,अर्थात जब x=-2 या x=4 हो |

शून्यांकों का योग = −2+4=2=−(−2)1=−(x का गुणांक ) x2 का गुणांक

शून्यांकों का गुणनफल = (-2)×4=-8=-81=अचर पद x2 का गुणांक

4s2−4s+1 हम पाते हैं:4s2−4s+1

4s2−2s−2s+12s(2s−1)−1(2s−1)(2s-1)(2s-1)इसलिए 4s2−4s+1 का मान शून्य है, जब 2s-1 =0, अर्थात जब s=12 हो |

6x2-3-7x हम पाते हैं:6x2-7x-3

6x2-9x+2x-33x(2x-3)+1(2x-3)(3x+1)(2x-3)इसलिए 6x2-3-7x का मान शून्य है, जब 3x+1 =0, या 2x-3=0 है,अर्थात जब -13 या 32 हो |

4u2+8u हम पाते हैं:4u2+8u

4u2+8u4u(u+2)इसलिए 4u2+8u का मान शून्य है, जब 4u =0, या u+2=0 है,अर्थात जब u=0 या u=-2 हो |

t2−15 हम पाते हैं:t2−15

t2-15(t+15)(t-15)इसलिए t2−15 का मान शून्य है, जब t+15=0, या t-15=0 है,अर्थात जब t=-15 या t=15 हो |

3x2-x-4 हम पाते हैं:3x2-x-4

3x2-4x+3x-4x(3x-4)+1(3x-4)(3x-4)(x+1)इसलिए 3x2-x-4 का मान शून्य है, जब 3x-4=0, या x+1=0 है,अर्थात जब x=43 या x=-1 हो |

प्रश्न 02 -एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये, जिसके शून्यांकों का योग एवं गुणनफल क्रमशः दी गई संख्यायें हैं |

(i) 14, -1 (ii) 2, 13 (iii) 0, 5

(iv) 1,1 (v) -14,14 (vi) 4,1

हल-

(i)- 14, -1

दिया है - शून्यांकों का योग = 14

दिया है - शून्यांकों का योग = 2

दिया है - शून्यांकों का योग = 0

दिया है - शून्यांकों का योग = 1

दिया है - शून्यांकों का योग = -14

दिया है - शून्यांकों का योग = 4

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(i) x2−2x−8 (ii) $4 s^{2} - 4 s + 1$ (iii) $6 x^{2} - 3 - 7 x$

(iv) $4 u^{2} + 8 u$ (v) $t^{2} - 15$ (vi) $3 x^{2} - x - 4$

(i) $x^{2} - 2 x - 8$

$x^{2} - 2 x - 8$

$x^{2} - 4 x + 2 x - 8$

$x(x-4) + 2(x-4)$

$(x+2)(x-4)$

$इसलिए , x^{2} - 2 x - 8 का मान शून्य है,जब x + 2 = 0 है या$ $x - 4 = 0 है, अर्थात जब x = - 2 या x = 4 हो |$

$शून्यांकों का योग =- 2 + 4 = 2 = \frac{- (- 2)}{1} = \frac{- (x का गुणांक )}{x^{2 का गुणांक}}$

$शून्यांकों का गुणनफल =(- 2) \times 4 = - 8 = \frac{- 8}{1} = \frac{अ च र प द}{x^{2 क ा ग ु ण ा ं क}}$

$4 s^{2} - 4 s + 1$
हम पाते हैं:
$4 s^{2} - 4 s + 1$

$4 s^{2} - 2 s - 2 s + 1$
$2 s (2 s - 1) - 1 (2 s - 1)$
$(2 s - 1) (2 s - 1)$
इसलिए $4 s^{2} - 4 s + 1$ का मान शून्य है, जब 2s-1 =0,
अर्थात जब $s = \frac{1}{2}$ हो |

$6 x^{2} - 3 - 7 x$
हम पाते हैं:
$6 x^{2} - 7 x - 3$

$6 x^{2} - 9 x + 2 x - 3$
$3 x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3)$
$(3 x + 1) (2 x - 3)$
इसलिए $6 x^{2} - 3 - 7 x$ का मान शून्य है, जब 3x+1 =0, या 2x-3=0 है,
अर्थात जब $- \frac{1}{3}$ या $\frac{3}{2}$ हो |

$4 u^{2} + 8 u$
हम पाते हैं:
$4 u^{2} + 8 u$

$4 u^{2} + 8 u$
4u(u+2)

इसलिए $4 u^{2} + 8 u$ का मान शून्य है, जब 4u =0, या u+2=0 है,
अर्थात जब u=0 या u=-2 हो |

$t^{2} - 15$
हम पाते हैं:
$t^{2} - 15$

$t^{2} - \sqrt{15}$
$(t + \sqrt{15}) (t - \sqrt{15})$

इसलिए $t^{2} - 15$ का मान शून्य है, जब $t + \sqrt{15} = 0$ , या $t - \sqrt{15} = 0$ है,
अर्थात जब $t = - \sqrt{15}$ या $t = \sqrt{15}$ हो |

$3 x^{2} - x - 4$
हम पाते हैं:
$3 x^{2} - x - 4$

$3 x^{2} - 4 x + 3 x - 4$
$x (3 x - 4) + 1 (3 x - 4)$
$(3 x - 4) (x + 1)$
इसलिए $3 x^{2} - x - 4$ का मान शून्य है, जब $3 x - 4 = 0$ , या $x + 1 = 0$ है,
अर्थात जब $x = \frac{4}{3}$ या $x = - 1$ हो |

$प्रश्न 02 -$ $एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये, जिसके शून्यांकों का योग एवं गुणनफल क्रमशः दी गई संख्यायें हैं |$

(i) $\frac{1}{4}, - 1$ (ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$ (iii) $0, \sqrt{5}$

(iv) $1, 1$ (v) $\frac{- 1}{4}, \frac{1}{4}$ (vi) $4, 1$

(i)- $\frac{1}{4}, - 1$

दिया है - शून्यांकों का योग = $\frac{1}{4}$

दिया है - शून्यांकों का योग = $\sqrt{2}$

दिया है - शून्यांकों का योग = $\frac{- 1}{4}$